Definicja 1: Macierz odwrotna
Niech \( A \) będzie macierzą kwadratową stopnia \( n \). Jeżeli istnieje macierz \( A^{-1} \) taka, że spełnione są warunki
\( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}, \)
to mówimy, że macierz \( A \) jest odwracalna, a macierz \( A^{-1} \) nazywamy macierzą odwrotną do \( A \) (lub odwrotnością \( A \) ).
Warto zapamiętać, że macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowej, jednakże nie każda macierz kwadratowa ma swoją macierz odwrotną.
Wprost z definicji wynika również, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej stopnia \( n \) także jest macierzą kwadratową stopnia \( n \).
Przykład 1:
Korzystając z definicji, poszukamy odwrotności macierzy
\( A=\left( \begin{array}{cc}1&2\\ 3&4\end{array} \right). \)
Przypuśćmy, że poszukiwaną odwrotnością jest macierz postaci
\( \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right). \)
Wówczas muszą zachodzić warunki:
\( \left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right) \)
oraz
\( \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right). \)
Z warunku ( 1 ), po wymnożeniu lewej strony i porównaniu elementów macierzy, otrzymujemy układ równań:
\( \left\{ \begin{array}{ccc} a+2c&=&1\\ b+2d&=&0\\ 3a+4c&=&0\\ 3b+4d&=&1 \end{array} \right., \)
skąd \( a=-2 \), \( b=1 \), \( c=\frac{3}{2} \), \( d=-\frac{1}{2} \).
Łatwo sprawdzić, że takie same wyniki otrzymamy, rozwiązując układ równań otrzymany z warunku ( 2 ).
Zatem poszukiwana macierz \( A^{-1} \) odwrotna do macierzy \( A \) jest postaci:
\( A^{-1}=\left( \begin{array}{rr} -2&1\\ \frac{3}{2}&-\frac{1}{2} \end{array} \right). \)
Twierdzenie 1: O jedyności macierzy odwrotnej
Dowolna macierz kwadratowa może mieć co najwyżej jedną macierz odwrotną, tj. jeżeli dla danej macierzy istnieje macierz odwrotna, to jest ona określona jednoznacznie.
Twierdzenie 2: Własności macierzy odwrotnej
Niech \( A \) i \( B \) będą macierzami odwracalnymi tego samego stopnia i niech \( \alpha \) będzie liczbą różną od zera. Wówczas macierze \( A^{-1} \), \( A^{T} \), \( A\cdot B \), \( \alpha\cdot A \) są również odwracalne oraz zachodzą następujące własności:
- \( \mathrm{det}(A^{-1})=(\mathrm{det}A)^{-1}; \)
- \( (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}; \)
- \( (A^{-1})^{-1}=A; \)
- \( (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}; \)
- \( (\alpha \cdot A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}\cdot A^{-1}. \)
Definicja 2: Macierz osobliwa i nieosobliwa
Macierz kwadratową \( A \) taką, że \( \mathrm{det}A\neq 0 \) nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku \( A \) nazywamy macierzą osobliwą.
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Podamy teraz ogólny wzór na postać macierzy odwrotnej. W tym celu, w pierwszej kolejności sformułujemy pojęcia dopełnienia algebraicznego elementu macierzy oraz macierzy dopełnień algebraicznych.
Definicja 3: Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy
Niech \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą stopnia \( n \), gdzie \( n\geq 2 \). Niech \( A_{ij} \) będzie podmacierzą powstałą z \( A \) poprzez skreślenie \( i \)-tego wiersza i \( j \)-tej kolumny. Liczbę
\( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu \( a_{ij} \) macierzy \( A \).
Przykład 2:
Rozważmy macierz \( A \) postaci
\( A= \left( \begin{array}{rrrr} 2&3&0&-1\\ 3&-2&1&2\\ 1&1&2&-1\\-1&0&1&2 \end{array} \right) . \)
Wyliczymy dopełnienie algebraiczne elementu \( a_{11} \). Skreślając z macierzy \( A \) wiersz o numerze \( i=1 \) i kolumnę o numerze \( j=1 \) otrzymujemy podmacierz
\( A_{11}= \left( \begin{array}{rrrr} -2&1&2\\ 1&2&-1\\0&1&2 \end{array} \right) , \)
której wyznacznik \( \mathrm{det} A_{11} \) jest równy \( -10 \). Zatem dopełnieniem algebraicznym elementu \( a_{11} \) jest
\( D_{11}=(-1)^{1+1}\mathrm{det}A_{11}=-10. \)
Definicja 4: Macierz dopełnień algebraicznych
Macierz
\( A^{D}=\left( \begin{array}{cccc} D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\ D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn} \end{array} \right), \)
gdzie \( D_{ij} \) oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów \( a_{ij} \) macierzy \( A \), nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy \( A \).
Twierdzenie 4: Postać macierzy odwrotnej
Jeżeli macierz \( A=(a_{ij}) \) stopnia \( n \) jest nieosobliwa (jest odwracalna), to macierz do niej odwrotna \( A^{-1} \) wyraża się wzorem
\( A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det}A}(A^{D})^{T}. \)
Przykład 3:
Wyliczymy macierz odwrotną do macierzy
\( A= \left( \begin{array}{rrr} 1& -3& -1\\ 2& -2& 1\\ 0& 0&-3 \end{array} \right) . \)
Wyznacznik macierzy \( A \) jest równy \( -12 \), zatem na mocy twierdzenia O odwracalności macierzy macierz odwrotna do macierzy \( A \) istnieje.
Obliczamy macierz dopełnień macierzy \( A \):
\( A^{D}=\left( \begin{array}{ccc} (-1)^{1+1}\left| \begin{array}{rr} -2&1\\ 0&-3 \end{array} \right|& (-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rr} 2&1\\ 0&-3 \end{array} \right| & (-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rr} 2&-2\\ 0&0 \end{array} \right|\\ (-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rr} -3&-1\\ 0&-3 \end{array} \right| & (-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rr} 1&-1\\ 0&-3 \end{array} \right| & (-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rr} 0&-3\\ 0&0 \end{array} \right|\\ (-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rr} -3&-1\\ -2&1 \end{array} \right| & (-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rr} 1&-1\\ 2&1 \end{array} \right| & (-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rr} 1&-3\\ 2&-2 \end{array} \right| \end{array} \right) \),
skąd, po wykonaniu rachunków, mamy:
\( A^{D}=\left( \begin{array}{rrr} 6&6&0\\ -9&-3&0\\ -5&-3&4 \end{array} \right). \)
Aby wyliczyć macierz \( A^{-1} \) odwrotną do macierzy \( A \) musimy teraz transponować macierz dopełnień. Mamy:
\( (A^{D})^{T}=\left( \begin{array}{rrr} 6&-9&-5\\ 6&-3&-3\\ 0&0&4 \end{array} \right). \)
Na koniec \( (A^{D})^{T} \) dzielimy przez wyznacznik (równy \( -12 \)), otrzymując
\( A^{-1}=-\frac{1}{12}\left( \begin{array}{rrr} 6&-9&-5\\ 6&-3&-3\\ 0&0&4 \end{array} \right). \)
Jeśli chcemy się upewnić, czy nie nie ma błędu w naszych stosunkowo żmudnych obliczeniach, możemy je sprawdzić, korzystając z przynajmniej jednego warunku definicji macierzy odwrotnej. I tak:
\( A\cdot A^{-1}= \left( \begin{array}{rrr} 1& -3& -1\\ 2& -2& 1\\ 0& 0 &-3 \end{array} \right)\cdot \left(-\frac{1}{12}\right)\left( \begin{array}{rrr} 6&-9&-5\\ 6&-3&-3\\ 0&0&4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) . \)
Podobnie można sprawdzić, że również \( A^{-1}\cdot A=I \), a zatem nasze obliczenia są poprawne.
